已知数列an中,a1=1,an+1=1⼀a*（an平方）（a＞0）

已知数列an中,a1=1,an+1=1/a*（an平方）（a＞0），求an通项

2025-06-28 22:52:40

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回答1：

解：易知道an>0,我们对an+1=1/a*(an)^2(a＞0），两边同时取ln对数得
lna(n+1)=2lnan-lna,则有lna(n+1)-lna=2(lnan-lna)
即[lna(n+1)-lna]/[(lnan-lna)]=2
得到{lnan-lna}为等比数列，公比为q=2,首项为lna1-lna=0-lna=-lna
则lnan-lna=-(lna)2^(n-1)
即lnan=(lna)[1-2^(n-1)]
于是an=e^{lna[1-2^(n-1)]}=a*e^[1-2^(n-1)]
所以数列{an}的通项公式为an=a*e^[1-2^(n-1)]
这样可以么？

回答2：

对数
lga(n+1)=lg1/a+lgan²=-lga+2lgan
lga(n+1)-lga=-2lga+2lgan=2(lgan-lga)
所以是等比，q=2
lgan-lga=(lga1-lga)*2^(n-1)
a1=1
lgan=lga-2^(n-1)*lga=lga-lga^[2^(n-1)]=lg{a/a^[2^(n-1)]}
an=a/a^[2^(n-1)]
即an=a^[1-2^(n-1)]