计算曲面积分I=∫∫xzdydz+2zydzdx+3xydxdy，其中∑为曲面z=1-x2-y24（0≤z≤1）的上侧

2025-06-27 13:00:02

推荐回答（2个）

回答1：

补充曲面∑₁：

x2+

＝1

z＝0

，取下侧，
则：
I=

∑+∑1

xzdydz+2zydzdx+3xydxdy-

∑1

xzdydz+2zydzdx+3xydxdy=

(z+3z)dxdydz+

3xydxdy，
其中，Ω 为∑与∑₁所围成的空间区域，D={（x，y）|x2+

≤1}为∑₁在xOy面上的投影，
因为D关于x轴对称，3xy关于x为奇函数，
所以：

3xydxdy=0，
利用垂直于z轴的平行平面去截Ω，所得截面为椭圆：D_z={（x，y）|x2+

≤1?z}，截面面积为 2π（1-z），
可得：

(z+2z)dxdydz=3

zdxdydz=3

∫

zdz

dxdy=3

∫

z?2π(1?z)dz=π．

回答2：

搜一下：计算曲面积分I=∫∫xzdydz+2zydzdx+3xydxdy，其中∑为曲面z=1-x2-y24（0≤z≤1）的上侧