求位于曲线y=e^x下方，该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形面积。(题目没有错)

该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形的面积为e/2。

解：令过原点的切线与曲线y=e^x的切点P为(x，e^x)。

而切线斜率k=y'=e^x，又k=e^x/x，那么e^x/x=e^x，可得x=1，

那么切线的斜率k=e，切线方程为y=ex，而切点P为(1，e)。

那么曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形的面积S为，

S=∫(-∞,1)e^xdx-∫(0,1)e*xdx

令F(x)=∫e^xdx，G(x)=∫e*xdx，那么F(x)=e^x+C1，G(x)=e*x^2/2+C2，则

S=F(1)-F(-∞)-(G(1)-G(0))

=e-0-(e/2-0)

=e-e/2

=e/2

即面积等于e/2。

扩展资料：

1、定积分∫(a,b)f(x)dx的性质

（1）当a=b时，∫(a,b)f(x)dx=0。

（2）当a>b时，∫(a,b)f(x)dx=-∫(b,a)f(x)dx。

（3）常数可以提到积分号前。即∫(a,b)K*f(x)dx=K*∫(a,b)f(x)dx。

（4）如果积分区间[a,b]被c分为两个子区间[a,c]与[c,b]则有，

∫(a,b)f(x)dx=∫(a,c)f(x)dx+∫(c,b)f(x)dx

2、定积分的应用

（1）解决求曲边图形的面积问题

（2）求变速直线运动的路程

做变速直线运动的物体经过的路程s，等于其速度函数v=v(t) (v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分。

（3）求变力做功

某物体在变力F=F(x)的作用下，在位移区间[a,b]上做的功等于F=F(x)在[a,b]上的定积分。

（4）数列求和的极限

参考资料来源：百度百科-定积分

参考过程