（1）∵f（x）=
(a≠0)是奇函数，1+ax2
x+b
∴f（-x）+f（x）=
+1+a?(?x)2
?x+b
=（1+ax2）?1+ax2
x+b
=0，2b (x+b)(?x+b)
∴b=0；
∴f（x）=
(a≠0)，又f（x）的图象经过点（1，3），1+ax2
x
∴
=3，1+a 1
∴a=2；
∴f（x）=2x+
；1 x
（2）当x＞0时，f（x）=2x+
在[1 x
，+∞）上单调递增．
2
2
证明：令
≤x1＜x2，
2
2
则f（x2）-f（x1）=2（x2-x1）+（
-1 x2
）=（x2-x1）（2-1 x1
），1
x1?x2
∵
≤x1＜x2，
2
2
∴0＜
＜2，于是2-1
x1?x2
＞0，1
x1?x2
∴（x2-x1）（2-
）＞0，1
x1?x2
∴f（x2）＞f（x1）．
∴当x＞0时，f（x）=2x+
在[1 x
，+∞）上单调递增．
2
2
（3）∵f（x）=2x+
（x＞0），1 x
∴f′（x）=2-
，由f′（x）≥0可得x≥1 x2
，由f′（x）＜0可得0＜x＜
2
2
，
2
2
∴f（x）=2x+
在[1 x
，+∞）上单调递增，在（0，
2
2
]上单调递减．
2
2
∴f（x）=2x+
在x=1 x
处取到最小值2
2
2
，
2
∴当x＞0时f（x）=2x+
的值域为：[21 x
，+∞）．
2
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