不可逆的矩阵，原矩阵的特征向量也是伴随阵的特征向量

2025-06-25 03:02:05

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回答1：

根据A的秩讨论一下就行了
1) A满秩你会证
2) rank(A)3) rank(A)=n-1时rank(adj(A))=1, 这个时候用 A adj(A) = adj(A) A = det(A)I = 0 的性质
对于非零特征值λ, Ax=λx (x≠0), adj(A)x = adj(A)Ax/λ=0, 所以x是adj(A)关于0的特征向量
对于零特征值, Ay=0的解空间只有一维Ker(A)=span{z}, 即0特征值对应的特征子空间, 而A adj(A)=0说明adj(A)的每列都属于这个空间, 所以adj(A)z是以z为分量对adj(A)的列进行线性组合, 仍然落在span{z}里, 所以z也是adj(A)的特征向量

更强的结论, adj(A)一定是A的多项式, 所以A的特征向量必定是adj(A)的特征向量

回答2：

一样的，只不过是伴随矩阵的0特征值的特征向量