利用拉格朗日中值定理证明不等式

2025-06-27 22:00:06

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回答1：

由于f(x)不是线性函数，故存在c∈(a,b)使得f(c) ≠ f(a)+[f(b)-f(a)]/(b-a) *(c-a)
【直观来看，即存在一点不在(a,f(a))、(b,f(b))所在的直线y=f(a)+[f(b)-f(a)]/(b-a) *(x-a)上】
若f(c)>f(a)+[f(b)-f(a)]/(b-a) *(c-a) ，则[f(c)-f(a)]/(c-a) > [f(b)-f(a)]/(b-a) 由
由拉格朗日中值定理即得结论。
若f(c)f(b)-[f(a)+[f(b)-f(a)]/(b-a) *(c-a)]
即f(b)-f(c)>[f(b)-f(a)]/(b-a) *(b-c)]
从而有，[f(b)-f(c)]/(b-c) > [f(b)-f(a)]/(b-a) 由拉格朗日中值定理亦得结论。
证毕.