三个式子是泰勒级数展开，大学微积分或者高数才学，这三个式子都是很基本的，理工科学生大学必背的，你想了解可以百度（泰勒级数），资料以及推导肯定很全。
欧拉公式e^(ix)=cosx+isinx只是一个定义，没有推导，你可以认为f（ix）=cosx+isinx；而这个f（ix）很巧妙，和我们已知的e^x性质很像，（比如f（ix）*e^x=f（ix+x））因而写作e^(ix），但实际上并不是传统的e^x，只是一种写法。e^(iπ)+1=0是这个定义式的x=pi的情况，具体参见“复变函数”，也是大学课程
补充一下：
定义复平面内的函数f（z）=e^x(cosy+isiny)，它拥有类似e^x的某些性质，例如f'(z)=f(z)。将f（z）记为expz,即expz=e^x(cosy+isiny)，为了方便，常用e^z代替expz，写作e^z=e^x(cosy+isiny)，这里的e^z没有幂的意义，只有符号的意义，另z=ix和i*pi就是你的那两个式子（补充内容源自西安交通大学出版的《复变函数》）
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