阿Q吧 > 已知定义在R上的函数f（x）=x 2 （ax-3），其中a为常数．（1）若x=l是函数f（x）的一个极值点，求a的值；

已知定义在R上的函数f（x）=x 2 （ax-3），其中a为常数．（1）若x=l是函数f（x）的一个极值点，求a的值；

2025-06-28 12:06:31

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回答1：

（1）∵ f(x)=

(ax-3) =ax³ -3x² ，∴f′（x）=3ax² -6x，
∵x=l是函数f（x）的一个极值点，∴f′（1）=0，
解得，a=2，此时f′（x）=6（x² -x）=6x（x-1），
∴当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（-∞，0），（1，+∞）时，f′（x）＞0，
∴a=2．
（2）由题意得g（x）=f（x）+f′（x）=ax³ +3（a-1）x² -6x，a＞0且x∈[0，2]，
∴g′（x）=3ax² +6（a-1）x-6=3[ax² +2（a-1）x-2]，
令g′（x）=0，即ax² +2（a-1）x-2=0，
且△=4（a-1）² +8a=4a² +4＞0，
∴方程ax² +2（a-1）x-2=0有两个不同的根，设为x₁ ，x₂ ，则
x₁ x₂ =-

＜0，不妨设x₁ ＜0＜x₂ ，
当0＜x₂ ＜2时，g（x₂ ）为极小值，则g（x）在[0，2]上的最大值只能为g（0）或g（2）；
当x₂ ≥2时，则g（x）在[0，2]上是单调减函数，
∴g（x）在[0，2]上的最大值只能为g（0），
综上得，g（x）在[0，2]上的最大值只能为g（0）或g（2）；
∵g（x）在x=0处取得最大值，∴g（0）≥g（2），
即0≥20a-24，得a≤

，
∵a＞0，∴a∈（0，

]．