求函数z=x2+y2+1在约束条件x+y-3=0下的极值

2025-06-25 00:32:58

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回答1：

简单计算一下即可，答案如图所示

回答2：

利用拉格朗日乘数法求条件极值，
令L（x，y，λ）=x2+y2+1+λ（x+y-3）
得方程组
L′x＝2x+λ＝0
L′y＝2y+λ＝0
L′λ＝x+y?3＝0
解之得：x＝y＝
3
2
，
由题意知：当x＝y＝
3
2
时，z可能取到极值
11
2
．
再来判断：令F（x）=z（x，y（x））=x2+（x-3）2+1，
F′（
3
2
）=0，且F″(
3
2
)＞0，
故函数z取得极小值为z（
3
2
，
3
2
）=
11
2
．

回答3：

利用拉格朗日乘数法求条件极值，
令l（x，y，λ）=x2+y2+λ（2x+2y-1）
得方程组

l′x＝2x+2λ＝0
l′y＝2y+2λ＝0
l′λ＝2x+2y-1＝0

解之得：x＝y＝
1
4
，
由题意知：当x＝y＝
1
4
时，z可能取到极值
1
8
．
再来判断：令f（x）=z（x，y（x））=x2+（
1-2x
2
）2，
f′（
1
4
）=0，且f″(
1
4
)＞0，
故函数z取得极小值为z（
1
4
，
1
4
）=
1
8
．