已知直线l：y=kx+m交抛物线C：x 2 =4y于相异两点A，B．过A，B两点分别作抛物线的切线，设两切线交于M点．

2025-06-27 08:04:14

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回答1：

（I）设A（x₁ ，y₁ ），B（x₂ ，y₂ ），M（x₀ ，y₀ ），
则 y 1 =

， y 2 =

∵ y=

x 2

，
∴ y′=

∴切线方程： y- y 1 =

x 1

(x- x 1 )，y- y 2 =

x 2

(x- x 2 )
两式联立且有 y 1 =

， y 2 =

，
可得

x 0 =

x 1 + x 2

y 0 =

x 1 x 2

①
将y=kx+m代入x² =4y得x² -4kx-4m=0
由题可知△=16（k² +m）＞0且x₁ +x₂ =4k，x₁ x₂ =-4m
∴x₀ =2k，y₀ =-2m
即M（2k，-2m）
当M（2，-1）时，则2k=2，-2m=-1
∴k=1，m=

∴直线l的方程为y=x+

（Ⅱ）∵ |AB|=

( x 1 - x 2 ) 2 + ( y 1 - y 2 ) 2

1+ k 2

( x 1 + x 2 ) 2 -4 x 1 x 2

1+ k 2

16( k 2 +m)

=4
∴

1+ k 2

k 2 +m

=1 M到AB的距离为 h=

|2 k 2 +2m|

1+ k 2

2( k 2 +m)

1+ k 2

∴
△ABM面积 S=

|AB|?h=4

k 2 +m

1+ k 2

(1+ k 2 )

≤4
当k=0时，△ABM面积的最大值为4．