如图，已知ABC-A 1 B 1 C 1 是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是2，D为侧棱CC 1 的中点．（1）求异面直

2025-06-28 17:54:49

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回答1：

（1）方法一：
以A₁ B₁ 中点O为坐标原点，如图建立空间直角坐标系．
由题意得 A 1 (1，0，0)，D(0，1，

)，B(-1，2，0)，C(0，2，

)
则

A 1 D

=(-1，1，

)，

=(1，0，

)
设θ为向量

A 1 D

与

的夹角， cosθ=

-1+3

(-1) 2 + 1 2 + (

) 2

1 2 + (

) 2

，
∴异面直线A₁ D与BC所成角的大小为arccos

．
方法二：取B₁ B中点E，连结A₁ E，DE．∵DE ∥ CB
∴∠A₁ DE为异面直线A₁ D与BC所成的角．
在Rt△A₁ B₁ E中， A 1 E=

；在Rt△A₁ C₁ D中， A 1 D=

；
cos∠ A 1 DE=

A 1 D

．
∴异面直线A₁ D与BC所成角的大小为arccos

．
（2）∵AB ∥ A₁ B₁ ，∴A₁ B₁ ∥ 平面ABD，
∴A₁ B₁ 到平面DAB的距离即为A₁ 到平面DAB的距离，设为h．
由题意得 A 1 D=AD=BD=

，AB=2 ，
等腰△ADB底边AB上的高为

5-1

=2 ， S △ ABD =

?2?2=2 ，则 S △ A A 1 B =2 ，
且D到平面ABB₁ A₁ 的距离为

，
由 V A 1 -ABD = V D- A 1 AB 得

×S_△ABD ?h=