设向量OA，OB长为2 ,∠AOB=60°,向量OP=λOA+uOB ,且λ+2u =2,则OA 在 OP上的投影的取值范围是

你确定是λ+2u =2？
不是λ+u =2？
OA 在 OP上的投影
=|OA|*cos∠AOP
=|OA|*cos∠AOP

=|OA|*向量OA·向量OP/(|OA|*|OP|)
=向量OA·向量OP/|OP|
=向量OA·(λ向量OA+u向量OB)/√(λ²OA²+λ向量OA·u向量OB+u²OB²)
=(λ向量OA²+u向量OA·向量OB)/√(λ²OA²+λ向量OA·u向量OB+u²OB²)
=(4λ+2u)/√(4λ²+2λu+4u²)
λ+u =2代入得
=(2λ+4)/√(4λ²-8λ+16)
=(λ+2)/√(λ²-2λ+4)
利用λ+ 4/λ的特点
当λ<-2时
=-√[(λ+2)²/(λ²-2λ+4)]
=-√[1+6/(λ+ 4/λ -2)]
λ+ 4/λ在(-∞,-2）上单调递增
∴λ+ 4/λ -2<-6
∴0>6/(λ+ 4/λ -2)>-1
∴1>1+6/(λ+ 4/λ -2)>0
∴-√[1+6/(λ+ 4/λ -2)]属于(-1,0)
以后解的过程类似
当λ≥-2时
=√[1+6/(λ+ 4/λ -2)]
(1)
-2≤λ<0时
原式属于[0,1)
(2)
λ=0时
原式=√[(λ+2)²/(λ²-2λ+4)]=1
(3)
λ>0是
原式=√[1+6/(λ+ 4/λ -2)]属于(1,2]
综上取并集得
(-1,2]