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已知：α，β（α＞β）是一元二次方程x2-2x-1=0的两个实数根，设S1=α+β，S2=α2+β2，…，Sn=αn+βn

2025-06-28 04:16:34

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回答1：

（1）移项，得
x²-2x=1，
配方，得
x²-2x+1²=1+1²，
即（x-1）²=2，
开方，得
x-1=±

，
解得，x=1±

，
故α=1+

，β=1-

，
于是，s₁=1，s₂=3；

（2）猜想：s_n=2s_n-1+s_n-2．
证明：根据根的定义，α²-2α-1=0，
两边都乘以α^n-2，得　αⁿ-2α^n-1-α^n-2=0，①
同理，βⁿ-2β^n-1-β^n-2=0，②
①+②，得（αⁿ+βⁿ）-2（α^n-1+β^n-1）-（α^n-2+β^n-2）=0，
因为　s_n=αⁿ+βⁿ，s_n-1=α^n-1+β^n-1，s_n-2=α^n-2+β^n-2，
所以　s_n-2s_n-1-s_n-2=0，
即s_n=2s_n-1+s_n-2．

（3）47．
理由：由（1）知，s₁=1，s₂=3，由（2）中的关系式可得：
s₃=2s₂+s₁=7，s₄=2s₃+s₂=17，s₅=34+7=41，
故答案是：41．