阿Q吧 > 已知定义在R上的函数y=fx对任意x都满足f(x+1)=-fx,且当0≤x<1时,fx=x,则函数gx=fx-lX|零点个数为？

已知定义在R上的函数y=fx对任意x都满足f(x+1)=-fx,且当0≤x<1时,fx=x,则函数gx=fx-lX|零点个数为？

2025-06-28 11:26:10

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回答1：

f(x+1)=-f(x) 恒成立
f(1)=-f(0)
0≤x<1时,f(x)=x
∴f(0)=0
f(1)=0
f(1+1）=f(2)=-f(1)=0
f(2+1)=f(3)=-f(2)=0
...
f(k+1)=-f(k)=0
令0≤t<1
f(1+t)=-f(t)=-t
f(2+t)=-f(1+t)=f(t)=t
...
∴f(2k+1+t)=-t
f(2k+t)=t
x≥0,g(x)=f(x)-x
0≤x<1
g(x)=f(x)-x≡0,无数个零点。
x=k(k>0),g(x)=0-x 无零点

x=2k+1+t(k≥0)，g(x)=-t-(2k+1+t)=-2t-2k-1，无零点
x=2k+t(k>0)，g(x)=t-(2k+t)=-2k,无零点
-1f(1+x)=-f(x)=-x
g(x)=f(x)+x≡0, ,无数个零点。
x=k(k<0),g(x)=0+x 无零点
x=2k+1+t(k<0)，g(x)=-t+(2k+1+t)=2k+1，无零点
x=2k+t(k<0)，g(x)=t+(2k+t)=-2k+2t,无零点