阿Q吧 > 已知函数 f(x)= k x 2 e x ，其中k∈R且k≠0．（1）求函数f（x）的单调区

已知函数 f(x)= k x 2 e x ，其中k∈R且k≠0．（1）求函数f（x）的单调区

2025-06-27 07:59:30

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回答1：

（1）函数的定义域为R，求导函数可得 f′(x)=

-kx(x-1)

e x

当k＜0时，令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞2；令f′（x）＜0，可得0＜x＜2
∴函数f（x）的单调增区间为（-∞，0），（2，+∞），单调减区间为（0，2）；
当k＜0时，令f′（x）＜0，可得x＜0或x＞2；令f′（x）＞0，可得0＜x＜2
∴函数f（x）的单调增区间为（0，2），单调减区间为（-∞，0），（2，+∞）；
（2）当k=l时， f(x)=

，x＞0，1nf（x）＞ax成立，等价于a＜

2lnx-x

设g（x）=

2lnx-x

（x＞0）
存在x＞0，使1nf（x）＞ax成立，等价于a＜g（x）_max ，
g′(x)=

2(1-lnx)

x 2

，当0＜x＜e时，g′（x）＞0；当x＞e时，g′（x）＜0
∴g（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减
∴g（x）_max =g（e）=

-1
∴a＜

-1 ．