设函数f（x）=2x+33x（x＞0），数列{an}满足a1=1，an=f（1an?1）（n∈N*，且n≥2）．（1）求证数列{an}是

2025-06-25 20:24:27

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回答1：

解答：（1）证明：因为an＝f(

an?1

)＝

2×

an?1

3×

an?1

＝an?1+

， (n∈N*，且n≥2)，
所以an?an?1＝

．…（2分）
因为a₁=1，所以数列{a_n}是以1为首项，公差为

的等差数列．
（2）解：因为数列{a_n}是以1为首项，公差为

的等差数列，
所以an＝

2n+1

．…（4分）
（3）解：①当n=2m，m∈N^*时，Tn＝T2m＝a1a2?a2a3+a3a4?a4a5+…+(?1)2m?1a2ma2m+1=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃-a₅）+…+a_2m（a_2m-1-a_2m+1）=?

(a2+a4+…+a2m)=?

a2+a2m

×m＝?

(8m2+12m)=?

(2n2+6n)．…（6分）
②当n=2m-1，m∈N^*时，Tn＝T2m?1＝T2m?(?1)2m?1a2ma2m+1=?

(8m2+12m)+

(16m2+16m+3)=

(8m2+4m+3)＝

(2n2+6n+7)．…（8分）
所以Tn＝

(2n2+6n)，n为偶数

(2n2+6n+7)，n为奇数

要使Tn≥tn2对n∈N^*恒成立，
只要使?

(2n2+6n)≥tn2，(n为偶数)恒成立．
只要使?

(2+

)≥t，对n为偶数恒成立，
故实数t的取值范围为(?∞，?

]．…（12分）