为了求出k的取值范围，我们需要考虑函数f(x)的单调性和定义域。
首先，由于f(x)在定义域(0, +∞)上是可导的，因此它是单调的当且仅当f'(x)>0或f'(x)<0在定义域上恒成立。我们可以求出f'(x)：
f'(x) = 1/x - k/(x+1)^2
当f'(x)>0时，有：
1/x - k/(x+1)^2 > 0
化简可得：
x^2 + (2-k)x - k > 0
因为函数f(x)在定义域内具有单调性，所以不等式x^2 + (2-k)x - k > 0只有一个实根。因此，判别式b^2 - 4ac = (2-k)^2 + 4k < 0。
化简可得：
k^2 - 4k + 4 < 0
解得：
(k-2)^2 < 0
因此，k的取值范围为：
2 < k < 2
即：不存在符合要求的k的取值范围，原命题错误。
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