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双曲线的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，过双曲线右焦点且斜率为 3 5 的直线交

2025-06-26 16:51:04
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回答1：

设双曲线的方程为
x 2
a 2
-
y 2
b 2
=1．
依题意知，点P，Q的坐标满足方程组
x 2
a 2
-
y 2
b 2
=1
y=
3
5
(x-c)  (其中c=
a 2 + b 2
)

整理得（5b 2 -3a 2 ）x 2 +6a 2 cx-（3a 2 c 2 +5a 2 b 2 ）=0 ①．
若5b 2 -3a 2 =0，则
b
a
=
3
5
，即直线与双曲线的两条渐近线中的一条平行，故与双曲线只能有一个交点同，与题设矛盾，所以5b 2 -3a 2 ≠0．
设方程①的两个根为x 1 ，x 2 ，则有
x 1 + x 2 =
6 a 2 c
5 b 2 -3 a 2
②， x 1 x 2 =-
3 a 2 c 2 +5 a 2 b 2
5 b 2 -3 a 2
③，
由于P、Q在直线y=
3
5
（x-c）上，可记为
P（x 1 ，
3
5
（x 1 -c）），Q（x 2 ，
3
5
（x 2 -c））．
由OP⊥OQ得
3
5
( x 1 -c)
x 1
?
3
5
( x 2 -c)
x 2
=-1，
整理得3c（x 1 +x 2 ）-8x 1 x 2 -3c 2 =0  ④．
将②，③式及c 2 =a 2 +b 2 代入④式，并整理得
3a 4 +8a 2 b 2 -3b 4 =0，即（a 2 +3b 2 ）（3a 2 -b 2 ）=0．
因为a 2 +3b 2 ≠0，解得b 2 =3a 2 ，
所以c=
a 2 + b 2
=2a．
由|PQ|=4，得（x 2 -x 1 ） 2 +[
3
5
（x 2 -c）-
3
5
（x 1 -c）] 2 =4 2 ．
整理得（x 1 +x 2 ） 2 -4x 1 x 2 -10=0  ⑤．
将②，③式及b 2 =3a 2 ，c=2a代入⑤式，解得a 2 =1．
将a 2 =1代入b 2 =3a 2 得b 2 =3．
故所求双曲线方程为x 2 -
y 2
3
=1．

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