阿Q吧 > 设a,b,c,d均为实数,M=|ac+bd|,N=√(a^2+b^2)(c^2+d^2)比较M、N的大小

设a,b,c,d均为实数,M=|ac+bd|,N=√(a^2+b^2)(c^2+d^2)比较M、N的大小

请给出具体过程

2025-06-25 13:10:55

推荐回答（3个）

回答1：

M≥0，N≥0
M^2=|ac+bd|^2=(ac)^2+(bd)^2+2abcd
N^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac)^2+(ad)^2+(bc)^2+(bd)^2
M^2-N^2=(ac)^2+(bd)^2+2abcd-(ac)^2-(ad)^2-(bc)^2-(bd)^2
=2abcd-(ad)^2-(bc)^2
=-(ad-bc)^2≤0
M^2-N^2≤0
(M+N)(M-N)≤0
因M+N≥0
所以M-N≤0
M≤N

回答2：

N^2-M^2=(ad-bc)^2≥0,M≥N

回答3：

设向量p=(a,b),向量q=(c,d),
则|p|=√(a^2+b^2),|q|=√(c^2+d^2)
p*q(数量积)=ac+bd(坐标运算）
由数量积性质知|p*q(数量积)|≤|p|*||q|
即|ac+bd|≤√(a^2+b^2)(c^2+d^2)
即M≤N