求数学归纳法证明（a1a2……an）n≤(a1a2……an)n^n

2025-06-27 00:30:35

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回答1：

用归纳法先证：若a1a2...an=1，则a1+a2..an>=n

如后利用(a1/A)*(a2/A)*...*(an/A)=1证之，其中A=n√（a1a2...an)

当n=1时,显然成立,
假设当n时成立,对于n+1时候,
记u=（a1+a2..an+a_{n+1})/(n+1)(a_{n+1}的n+1是下标)

我们要证明的是u^{n+1}>=a1a2...a_na_{n+1},(1)
因为u是这n+1个数的平均数,所以必定存在某个i,j，使得a_i=
从而nu=a_1+a_2+...+(a_n+a_{n+1}-u).并设x=a_n+a_{n+1}-u>0
从而由归纳假设得到,
u^{n+1}=u*u^n>=a_1a_2...a_{n-1}xu,
而xu-a_na_{n+1}=(a_n+a_{n+1}-u)u-a_na_{n+1}=(a_n-u)(u-a_{n+1})>=0
从而得到了(1)式。

当然Cauchy还有个向前向后归纳法更优美。