阿Q吧 > 设实数kढ[0,1],函数f(x)=x+1⼀x-k√(x^2+1⼀x^2),x∈[1⼀2,2]试求函数f(x)的值域

设实数kढ[0,1],函数f(x)=x+1⼀x-k√(x^2+1⼀x^2),x∈[1⼀2,2]试求函数f(x)的值域

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2025-06-26 12:43:17

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回答1：

解：f(x)=x+1/x-k√(x^2+1/x^2),
=x+1/x-k√[(x+1/x)²-2],
由x∈[1/2,2]
则x+1/x>=2(当x=1时，等式成立)
故函数g(x)=x+1/x在x∈[1/2,2]有唯一最小值2
最大值为g(1/2)=g(2)=5/2
故2<=x+1/x<=5/2
设x+1/x=2secθ θ∈[π/3,arccos(2/5)]………………………………这一步是为了化开根号，θ角的范围由x+1/x的范围得到。
则f(x)=2secθ-√2ktanθ
接下来用导数做，自己来吧。