如图，平面直角坐标系中，圆心M与X交于A,B两点，AC是圆心M的直径，过点C的直径交X轴于点D，连接BC

解：（1）∵点M的坐标为 (0，3)，直线CD的函数解析式为y=- 3x+5 3，D在x轴上，
∴OM= 3，D（5，0）；
∵过圆心M的直径⊥AB，AC是直径，
∴OA=OB，AM=MC，∠ABC=90°，
∴OM= 12BC，
∴BC=2 3．

（2）∵BC=2 3，
∴设C（x，2 3）；
∵直线CD的函数解析式为y=- 3x+5 3，
∴y=- 3x+5 3=2 3，
∴x=3，即C（3，2 3），
∵CB⊥x轴，OB=3，
∴AO=3，AB=6，AC= AB2+BC2= 43，
即⊙M的半径为2 3．

证明：（3）∵BD=5-3=2，BC= 23，CD= CB2+BD2=4，
AC=4 3，AD=8，CD=4，
∴ ADCD=CDBD=ACBC，
∴△ACD∽△CBD，
∴∠CBD=∠ACD=90°；
∵AC是直径，
∴CD是⊙M的切线

第一个问题：
令y＝－√3x＋5√3中的y＝0，得：－√3x＋5√3＝0，∴x＝5，∴D的坐标是（5，0）。

∵AC是⊙M的直径，∴BC⊥AB，显然有：OM⊥AB，∴OM∥BC，又AM＝CM，
∴OM是△ABC的中位线，∴BC＝2OM，而M的坐标为（0，√3），∴OM＝√3，∴BC＝2√3。

即：点D的坐标是（5，0），BC的长为2√3。

第二个问题：
∵CD的斜率＝－√3，∴∠CDB＝60°，∴BD＝BC/√3＝2√3/√3＝2，而点D的坐标是（5，0），
∴B的坐标是（3，0），∴点C的坐标是（3，2√3）。

∵点M、C的坐标分别是（0，√3）、（3，2√3），∴MC的斜率＝（2√3－√3）/（3－0）＝√3/3。
∴∠CAB＝30°，∴AC＝2BC＝2×2√3＝4√3。

即：点C的坐标是（3，2√3），⊙M的直径为4√3。

第三个问题：
∵MC的斜率＝√3/3、CD的斜率＝－√3，∴MC的斜率×CD的斜率＝－1，∴MC⊥CD，
∴CD是⊙M的切线。

第一个问题：
令y＝－√3x＋5√3中的y＝0，得：－√3x＋5√3＝0，∴x＝5，∴D的坐标是（5，0）。

∵AC是⊙M的直径，∴BC⊥AB，显然有：OM⊥AB，∴OM∥BC，又AM＝CM，
∴OM是△ABC的中位线，∴BC＝2OM，而M的坐标为（0，√3），∴OM＝√3，∴BC＝2√3。

即：点D的坐标是（5，0），BC的长为2√3。

第二个问题：
∵CD的斜率＝－√3，∴∠CDB＝60°，∴BD＝BC/√3＝2√3/√3＝2，而点D的坐标是（5，0），
∴B的坐标是（3，0），∴点C的坐标是（3，2√3）。

∵点M、C的坐标分别是（0，√3）、（3，2√3），∴MC的斜率＝（2√3－√3）/（3－0）＝√3/3。
∴∠CAB＝30°，∴AC＝2BC＝2×2√3＝4√3。

即：点C的坐标是（3，2√3），⊙M的直径为4√3。

第三个问题：
∵MC的斜率＝√3/3、CD的斜率＝－√3，∴MC的斜率×CD的斜率＝－1，∴MC⊥CD，
∴CD是⊙M的切线。