设x>0,y>0,且x+2y=1,求1⼀x + 1⼀y 的最小值

2025-06-26 16:18:22

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回答1：

1/x+1/y
=(1/x+1/y)(x+2y)
因为x+2y=1
=1+2y/x+x/y+2
=2y/x+x/y+3大于等于3+2根号2y/x*x/y=3+2根号2
2y/x=x/y时取等号，验证可以取到的
所以最小值是3+2根号2
（有些符号打起来比较麻烦所以文字代替了，思路就是这样的，要说明一下最小值是可取到的）

回答2：

1/x+1/y
=1*(1/x+1/y)
=(x+2y)(1/x+1/y)
=1+2+2y/x+x/y
=3+2y/x+x/y
[平均值不等式]
>=3+2√(2y/x*x/y)
=3+2√2
取等号时2y/x=x/y
x=√2y
代入x+2y=1解得x=√2-1
y=(2-√2)/2