为什么曲面的偏导数是曲面的法向量

三维中的空间曲面退化成二维就是平面曲线，偏导数代表了平面的法向量 如平面2x+3y+4z=0，其法向量（2，3，4），而由其各偏导数组成的向量为（-1/2，-3/4，-1）
举个例子：
对于平面曲线c: F(x,y)=0, 向量N=(Fx, Fy)是它法向量
∵任意参数曲线a(t)=(x(t), y(t))，它的切向量是T=a'(t)=(x'(t), y'(t))
假设a(t)的轨迹和c重合，那么有F(a(t))=0，两边对t求导，就得到
Fx x' + Fy y' = 0，这就是N和T的内积为0，也就是N和T垂直。
∴N是法向量。

1)首先从简单开始，如果是平面F(x,y)=0 一般形式是Ax+By+C=0 法向量是(A,B)。因为任意一点(x0,y0)在平面上，A*x0+B*y0+C=0 那么A*(x-x0)+B*(y-y0)=0，即向量(A,B)*(x-x0,y-y0)=0 2)对于一般曲面F(x,y,z,……)=0 两边微分(偏导用大写D)，有dF=DF/DX*dx+DF/DY*dy+DF/DZ*dz+……=d0=0 那么向量(DF/DX,DF/DY,DF/DZ,……)*(dx,dy,dz,……)=0 其中向量(dx,dy,dz,……)必定在平面上(d是微分嘛，曲面的微小变化量) 所以向量(DF/DX,DF/DY,DF/DZ,……)是曲面的法向量.