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求证√(a^2+b^2)+√(b^2+c^2)+√(c^2+a^2)>=√2(a+b+c)

2025-06-26 16:44:12

推荐回答（2个）

回答1：

[[1]]
由基本不等式可得
x²+y²≥2xy
两边同加x²+y²,可得
2(x²+y²)≥(x+y)².
开方,可得:
√[2(x²+y²)]≥|x+y|≥x+y
∴√[2(x²+y²)]≥x+y.
等号仅当x=y≥0时取得.
[[2]]]
由上面的结论可得
√[2(a²+b²)]≥a+b
√[2(b²+c²)]≥b+c
√[2(c²+a²)]≥c+a
三式相加,整理可得

回答2：

√[2(x²+y²)]≥x+y. 这个公式好证平方就行故
√2(a^2+b^2）>=a+b
√2(a^2+c^2）>=a+c
√2(c^2+b^2）>=c+b
三式相加√2（√(a^2+b^2)+√(b^2+c^2)+√(c^2+a^2)）>=2（a+b+c）
即√(a^2+b^2)+√(b^2+c^2)+√(c^2+a^2)>=√2(a+b+c)