1、有继承权利。如果有证据证明：该私生子是Z先生的非婚生子，而Z先生父母已经过世，Z先生如果发生什么意外，私生子将与Z先生的妻子和婚生孩子共同继承遗产，得到Z先生遗产的三分之一。
2、Y小姐进行起诉Z先生,Z先生应该以自己收入20％－－－30％给付私生子抚养费至其18周岁。
根据婚姻法第二十五条：“非婚生子女享有与婚生子女同等的权利，任何人不得加以危害和歧视。
不直接抚养非婚生子女的生父或生母，应当负担子女的生活费和教育费，直至子女能独立生活为止。”
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