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已知函数f(x)=a+1⼀(4^x+1)是奇函数.判断a(x)=x*f(x)的奇偶性

2025-06-27 20:23:11

推荐回答（2个）

回答1：

f(x)=a+1/(4^x+1)是奇函数
那么f(-x)=-f(x)
∴a+1/[4^(-x)+1)]=-a-1/(4^x+1)
∴a+4^x/(1+4^x)=-a-1/(4^x+1)
∴2a=-(4^x+1)/(4^x+1)=-1
∴a=-1/2
a(x)=x*f(x)=x[-1/2+1/(4^x+1)]
=x[-(4^x+1)+2]/(2*4^x+2)]
=x/2*(1-4^x)/(1+4^x)

a(-x)=-x/2*[1-4^(-x)]/[1+4^(-x)]
=-x/2*(4^x-1)/(4^x+1)
=x/2*(1-4^x)/(1+4^x)
∴a(-x)=a(x)
∴a(x)是偶函数

回答2：

奇函数*奇函数 = 偶函数

f(x)是奇函数，y=x也是奇函数，
所以x*f(x)是偶函数