若直线2ax+by-2=0(a>0,b>0）始终平分圆x2+y2-2x-4y-1=0的面积,则1⼀a+4⼀b的最小值为 A5. B7 C2根号2 D9

解：直线2ax+by-2=0(a>0,b>0）即
x/(1/a)+y/(2/b)=1
在x轴和y轴上的截距分别为1/a和2/b。
由题意知，过点A(1/a,0)和B(0,2/b)的直线必过圆x2+y2-2x-4y-1=0的圆心P。
圆的方程为(x-1)^2+(y-2)^2=6
故圆心为P(1,2)
考虑AP的斜率等于BP的斜率，得
(2-0)/(1-1/a)=(2-2/b)/(1-0)
也即(1-1/a)(1-1/b)=1
展开化简得a+b=1
故
1/a+4/b=(a+b)/a+4(a+b)/b
=1+b/a+4+4a/b
=(b/a+4a/b)+5
≥2√(b/a*4a/b)+5=9
当且仅当b/a=4a/b且a+b=1且a>0,b>0，也即a=1/3.b=2/3时取等号。
故选D。

∵x^2+y^2-2x-4y-1=0 =>(x-1)^2+(y-2)^2=6 圆心M(1,2)
直线2ax+by-2=0(a>0,b>0）始终平分圆x2+y2-2x-4y-1=0的面积，
∴M(1,2)在直线2ax+by-2=0上，
∴2a+2b-2=0 ＝〉a+b=1
∴1/a+4/b=1+b/a+4+4a/b≥2√4+5 =9