阿Q吧 > 求同时满足下列两个条件的所有复数z：(1)z+10⼀z∈R且1<z+10⼀z≤6;(2)z的实部和虚部都为整数

求同时满足下列两个条件的所有复数z：(1)z+10⼀z∈R且1<z+10⼀z≤6;(2)z的实部和虚部都为整数

2025-06-26 03:21:25

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回答1：

设z=a+bia,b都是整数
z+10/z=a+bi+(10a-10bi)/(a^2+b^2)∈R
∴ b=10b/(a^2+b^2)
所以b=0,或者a^2+b^2=10
1)b=0 此时有1显然a>0
a+10/a>=2√(a*10/a)=2√10>6
舍去

2）a^2+b^2=10
此时有 1<2a<=6
1/2a可以为1,2,3
因为a^2+b^2=10
a=1时b可能为3,-3
a=2时，b无解
a=3时，b可能为1,-1
所以一共有四种可能3+i,3-i,1+3i,1-3i