已知数列{a n }的前n项和为S n ，常数λ＞0，且λa 1 a n =S 1 +S n 对一切正整数n都成立。（1）求数列{a

2025-06-24 02:02:21

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回答1：

解（1）当n=1时，

∴a₁ （λa₁ -2）=0
若取a₁ =0，则S_n =0，a_n =S_n -S_n-1 =0
∴a_n =0（n≥1）
若a₁ ≠0，则

，
当n≥2时，2a_n =

，

两式相减可得，2a_n -2a_n-1 =a_n ∴a_n =2a_n-1 ，
从而可得数列{a_n }是等比数列
∴a_n =a₁ ·2^n-1 =

综上可得，当a₁ =0时，a_n =0，
当a₁ ≠0时，

。
（2）当a₁ ＞0且λ=100时，
令

由（1）可知

∴{b_n }是单调递减的等差数列，公差为-lg2
∴b₁ ＞b₂ ＞…＞b₆ =

＞0
当n≥7时，

∴数列

的前6项和最大。