阿Q吧 > 设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且图象关于点（32，0）成中心对称．（1）证明：y=f（x）为周期函数，

设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且图象关于点（32，0）成中心对称．（1）证明：y=f（x）为周期函数，

2025-06-28 08:12:08

推荐回答（1个）

回答1：

证明：（1）∵函数f（x）图象关于点（

，0）成中心对称，
∴f（x）+f（3-x）=0，
∴f（x+3）+f（-x）=0，
∴f（x+3）=-f（-x），又f（x）为奇函数，
f（-x）=-f（-x），
∴f（x+3）=f（x），
∴y=f（x）为周期函数，其周期T=3．
（2）∵f（-1）=-2，f（x）为奇函数，
∴f（1）=2，又f（0）=0，
∴f（2）=f（2-3）=f（-1）=-2，f（3）=f（0）=0，
f（1）+f（2）+f（3）=0，
f（4）+f（5）+f（6）=0，
…
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）
=670[f（1）+f（2）+f（3）]+f（2011）]
=f（2011）=f（670×3+1）=f（1）=2．