阿Q吧 > 已知cos(α-β⼀2)=-1⼀9,sin(α⼀2-β)=-2⼀3,且α∈(π⼀2,π),β∈(0,π⼀2),求cos(α+β)的值

已知cos(α-β⼀2)=-1⼀9,sin(α⼀2-β)=-2⼀3,且α∈(π⼀2,π),β∈(0,π⼀2),求cos(α+β)的值

2025-06-25 10:29:43

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回答1：

这道题用已知的角来配未知的角。

(（α+β)/2)=(α-β/2)-(α/2－β)

所以cos(（α+β)/2)=cos[(α-β/2)-(α/2－β)]
利用余弦差角公式展开

=cos(α-β/2)cos(α/2－β)+sin(α-β/2)sin(α/2－β)（*)

因为π/2<α<π,β∈(0,π/2)，所以α-β/2∈(π/4,π)

α/2－β∈(-π/4,π/2)

又cos(α-β/2)<0,sin(α/2－β)>0,所以α-β/2∈(π/2,π)，

α/2－β∈(0,π/2),所以

sin(α-β/2)=（4倍根号5）/9,cos(α/2－β)=(根号5)/3

带入(*)式可得

-1/9*(根号5)/3+(4倍根号5）/9*2/3=(7倍跟号5)/27