任意三角形内找一个到三角形3个顶点的距离之和最小的点?

重心是到三角形三顶点的距离的平方和最小的点

如何证明重心是到三角形三顶点的距离的平方和最小的点？

设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为（x，y）
则该点到三顶点距离平方和为：
(x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2
=3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2
=3(x-1/3*(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2
显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时；
上式取得最小值为 x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3

证明方法2：
做法是建立直角坐标系，为了方便三角形的一个顶点作为坐标原点（0，0），一个边在X轴上（c,0）好算，然后设出另外一个点的坐标(m,n)；
再设三角形内的任意一点为（x,y）
把“（x,y）到三角形的三个顶点的距离的平方和”用m,n,x,y,c来表示，然后展开整理提取3后再配方，当2个平方项全是0时最小，
此时x=(m+c)/3=(m+c+0)/3,y=n/3=(n+0+0)/3;
刚好是重心的坐标公式；式子比较长但不难算。

重心：首先你要知道什么是重心，通常会听到人们说，没有了重心就容易摔交．而三角形的重心就是一个三角形内部的点，并且可以可以给予它运动时平衡的点．也就是说，只要我找到了一个三角形的重心，我就可以用一个轴穿过它然后让它平衡的转动．但是三角形永远不是圆形，还是有缺点，在告诉旋转的图形中只有圆形才是最稳定的．因为三角形的比重不均匀，会在高速旋转中在空间的不同角落，相成零质量点．重心也非常的好找，只要两部就行了，
第一：用一根绳子系住三角形的一个顶点，然后将其悬起，在三角形上顺着绳子划一条线，
第二：再取一个顶点，按照上面的方法做，找两条线的交点．
重心歌
重 心
三条中线定相交，交点位置真奇巧，
交点命名为“重心”，重心性质要明了，
重心分割中线段，数段之比听分晓；
长短之比二比一，灵活运用掌握好．

所谓三角形的"四心",是指三角形的四种重要线段相交而成的四类特殊点.它们分别是三角形的内心,外心,垂心与重心.

1.垂心
三角形三条边上的高相交于一点,这一点叫做三角形的垂心.
2.重心
三角形三条边上的中线交于一点,这一点叫做三角形的重心.

3. 三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心
4. 三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心，称内心，
重心 三边上中线的交点
垂心 三条高的交点
内心 内接圆圆心 三个角角平分线交点
外心 外接圆圆心 三条边的垂直平分线交点
还有一个心叫傍心:外角平分线的交点(有3个),(或傍切圆的圆心) 只有正三角形才有中心,这时重心,内心.外心,垂心,四心合一.