已知抛物线y^2=-x与直线y=k(x+1)相交于A和B, 求证：OA垂直OB

解答如下
设A点坐标为(x1，y1)，B点坐标为(x2，y2)
将y^2=-x与y=k(x+1)联立可得
k^2(x+1)^2=-x
k^2x^2+(2k^2+1)x+k^2=0
所以x1+x2=-2-1/k^2
x1*x2=1
因此OA与OB的斜率乘积为
(y1/x1)*(y2/x2)
=y1*y2
=k(x1+1)*k(x2+1)
=k^2(x1*x2+x1+x2+1)
=k^2(2-2-1/k^2)
=-1
故OA垂直OB

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已知抛物线y²=-x与直线y=k(x+1)相交于A(x1,y1),B(x2,y2)则△AOB的形状是⊿y=k(x+1)代入y²=-x得x1x2=1,x1+x2=-2-1/k²∴y1y2=k²(x1+1)(x2+1)=k²(1-2-1/k²+1)=-1∴x1x2+y1y2=0∴向量AO⊥BO∴△AOB的形状是直角三角形。
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