假设矩阵A中存在一个元素a(i,j)=a≠0,那么可以存在一个n维向量τ，τ（j)=b≠0
有Ax=ab≠0.
这与对于任一个n维向量，都是Ax=0的解
矛盾。
所以假设不成立。
则A=0
因为
r(a)=r
所以
ax=0
的基础解系含
n-r
个解向量.
对ax=0
的任一个解向量,都可由它的任意n-r个线性无关的解向量线性表示
(否则这
n-r+1个解线性无关,与a的基础解系含n-r个向量矛盾)
所以
它的任意n-r个线性无关的解向量线性表示
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