（Ⅰ）由an+1＝
an，1 3
∴数列{an}是首项为
公比为1 3
的等比数列，1 3
∴an＝(
)n．1 3
（II）由bn=log3an+5=log33?n+5=-n+5．
∴bn=-n+5．
当n＞5时，bn＜0；当n≤5时，bn≥0，
∴当n=4或n=5时，Tn取最大值，
此时T4＝T5＝
＝10．(4+0)×5 2
（III）Cn＝(
)n×(5?n)，1 3
由Cn+1?Cn＝(
)n+1×(4?n)?(1 3
)n×(5?n)1 3
=(
)n+1×(4?n?15+3n)1 3
=(
)n+1×(2n?11)，1 3
得当n≤5时，Cn+1＜Cn；当n＞5时，Cn+1＞Cn，
即C6，是数列{Cn}的最小项，C6＝?(
)6．1 3
又Cn＞
对?n∈N*恒成立，即(Cn)min＞k 35
，k 35
∴?(
)6＞1 3
，解得k＜?k 35
．1 3
∴存在整数k，使得Cn＞
对?n∈N*恒成立，此时k的最大值为-1．k 35
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