阿Q吧 > 设数列{an}满足a1=2，a2+a4=8，且对任意的n∈N*，都有an+an+2=2an+1（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）

设数列{an}满足a1=2，a2+a4=8，且对任意的n∈N*，都有an+an+2=2an+1（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）

2025-06-28 08:00:09

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回答1：

（Ⅰ）由n∈N^*，都有a_n+a_n+2=2a_n+1，知{a_n}为等差数列，设公差为d，
∵a₁=2，a₂+a₄=8，∴2×2+4d=8，解得d=1，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2+（n-1）×1=n+1；
（Ⅱ）由S₁S_n=2b_n-b₁得，
当n=1时，有b12＝2b1?b1＝b1，∵b₁≠0，∴b₁=1，S_n=2b_n-1①，
当n≥2时，S_n-1=2b_n-1-1②，
①-②得，b_n=2b_n-2b_n-1，即b_n=2b_n-1（n≥2），
则数列{b_n}是首项为1，公比为2的等比数列，bn＝2n?1．
∴a_nb_n=（n+1）?2^n-1，
T_n=2+3×2+4×2²+…+n?2^n-2+（n+1）?2^n-1③，
2T_n=2×2+3×2²+4×2³+n?2^n-1+（n+1）?2ⁿ④，
③-④得，-T_n=2+2+2²+…+2^n-1-（n+1）?2ⁿ
=1+

2n?1

2?1

=（n+1）?2ⁿ=-n?2ⁿ，
∴T_n=n?2ⁿ．