解答:解:(1)由已知an=Sn-1+2，①
an+1=Sn+2，②
②-①，得an+1-an=Sn-Sn-1
(n≥2)，
∴an+1=2an
(n≥2).
又a1=2，∴a2=a1+2=4=2a1，
∴an+1=2an
(n=1，2，3，…)
∴数列{an}是一个以2为首项，2为公比的等比数列，
∴an=2•2n-1=2n.
(2)bn=
1
log2an
=
1
log22n
=
1
n
，
∴Tn=bn+1+bn+2+…+b2n=
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
2n
，
Tn+1=bn+2+bn+3+…+b2(n+1)
=
1
n+2
+
1
n+3
+…+
1
2n
+
1
2n+1
+
1
2n+2
.
∴Tn+1-Tn=
1
2n+1
+
1
2n+2
-
1
n+1
=
2(n+1)+(2n+1)-2(2n+1)
2(2n+1)(n+1)
=
1
2(2n+1)(n+1)
.
∵n是正整数，∴Tn+1-Tn＞0，即Tn+1＞Tn.
∴数列{Tn}是一个单调递增数列，
又T1=b2=
1
2
，∴Tn≥T1=
1
2
，
要使Tn＞
k
12
恒成立，则有
1
2
＞
k
12
，即k＜6，
又k是正整数，故存在最大正整数k=5使Tn＞
k
12
恒成立.
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