层次分析的一致性检验

从理论上分析得到：如果A是完全一致的成对比较矩阵，应该有aijajk = aik。
但实际上在构造成对比较矩阵时要求满足上述众多等式是不可能的。因此退而要求成对比较矩阵有一定的一致性，即可以允许成对比较矩阵存在一定程度的不一致性。
由分析可知，对完全一致的成对比较矩阵，其绝对值最大的特征值等于该矩阵的维数。对成对比较矩阵 的一致性要求，转化为要求：的绝对值最大的特征值和该矩阵的维数相差不大。
检验成对比较矩阵 A 一致性的步骤如下：
计算衡量一个成对比矩阵 A （n>1 阶方阵）不一致程度的指标CI：
CI=\frac{\lambda(A)-n}{n-1}
其中λmax是矩阵 A 的最大特征值。注解
从有关资料查出检验成对比较矩阵 A 一致性的标准RI：RI称为平均随机一致性指标，它只与矩阵阶数 有关。
按下面公式计算成对比较阵 A 的随机一致性比率 CR：
CR=\frac{CI}{RI}。
判断方法如下：当CR<0.1时，判定成对比较阵 A 具有满意的一致性，或其不一致程度是可以接受的；否则就调整成对比较矩阵 A，直到达到满意的一致性为止。
例如对例 2 的矩阵
层次分析法
计算得到\lambda(A)=5.072,CI=\frac{\lambda(A)-5}{5-1}=0.018，查得RI=1.12，
CR=\frac{CI}{RI}=\frac{0.018}{1.12}=0.016<0.1。
这说明 A 不是一致阵，但 A 具有满意的一致性，A 的不一致程度是可接受的。
此时A的最大特征值对应的特征向量为U=(-0.8409,-0.4658,-0.0951,-0.1733,-0.1920）。这个向量也是问题所需要的。通常要将该向量标准化：使得它的各分量都大于零，各分量之和等于 1。该特征向量标准化后变成U = (0.4759,0.2636,0.0538,0.0981,0.1087）Z。经过标准化后这个向量称为权向量。这里它反映了决策者选拔干部时，视品德条件最重要，其次是才能，再次是群众关系，年龄因素，最后才是资历。各因素的相对重要性由权向量U的各分量所确定。
求A的特征值的方法，可以用 MATLAB 语句求A的特征值：〔Y,D〕=eig（A），Y为成对比较阵 的特征值，D 的列为相应特征向量。
在实践中，可采用下述方法计算对成对比较阵A=(a_{ij})的最大特征值λmax(A）和相应特征向量的近似值。
定义
U_k=\frac{\sum_{j=1}^{n}a_{kj}}{\sum^{n}_{i=1}\sum{n}{j=1}a_{ij}}，U=(u_1,u_2,\ldots,u_n)^z
可以近似地看作A的对应于最大特征值的特征向量。
计算
\lambda=\frac{1}{n}\sum^{n}_{i=1}\frac{(AU)_i}{u_i}=\frac{1}{n}\sum^{n}_{i=1}\frac{\sum^{n}_{i=1}}\frac{\sum^n_{j=1}a_{ij}u_{j}}{u_i}
可以近似看作A的最大特征值。实践中可以由λ来判断矩阵A的一致性。