证明：设x=rcosθ，y=rsinθ，则
f(x，y)=lim (x，y)→(0，0)
lim r→0
＝
r3cosθsinθ r2
rsinθcosθlim r→0
而sinθcosθ是有界函数
∴
f(x，y)=0=f（0，0）lim (x，y)→(0，0)
故f（x，y）在（0，0）连续
又
(0，0)＝
f
lim △x→0
＝f(△x，0)?f(0，0) △x
lim △x→0
＝0，0 △x
(0，0)＝
f
lim △y→0
＝f(0，△y)?f(0，0) △y
lim △y→0
＝0，0 △y
而f（x，y）在（0，0）处的全增量为
△f(0，0)＝
△x2△y △x2+△y2
∴△f(0，0)?(
(0，0)△x+
f
(0，0)△y)＝
f
△x2△y △x2+△y2
∴
lim ρ→0
=△f(0，0)?(
(0，0)△x+
f
(0，0)△y)
f
△x2+△y2
lim ρ→0
△x2△y (△x2+△y2)
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