解答：证明：（1）由题意得，f′(x)＝
(4x?a)′(x2+1)?(4x?a)(x2+1)′
(x2+1)2
=
=4(x2+1)?(4x?a)?2x (x2+1)2
=??4x2+2ax+4 (x2+1)2
，2(2x2?ax?2) (x2+1)2
∵方程2x2-ax-2=0的两根为α，β（α＜β），
∴函数y=2x2-ax-2在[α，β]上恒小于0，
则?
在[α，β]上恒大于0，即f′（x）＞0在[α，β]上恒成立，2(2x2?ax?2) (x2+1)2
∴f（x）在[α，β]上是增函数；
解：（2）∵方程2x2-ax-2=0的两根为α，β（α＜β），
∴α+β=
，αβ=-1，a 2
∴f（α）?f（β）=
?4α?a
α2+1
=4β?a
β2+1
=4αβ?4a(α+β)+a2
α2β2+α2+β2+1
＞0，?4?a2
4+
a2 4
∴由（1）知，函数f（x）在[α，β]上最大值f（β）＞0，最小值f（α）＜0，
∵|f（α）?f（β）|=4，
∴当且仅当f（β）=-f（α）=2时，f（β）-f（α）=|f（β）|+|f（α）|取最小值4，
此时a=0，f（β）=2．
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