求初值y〃+(y′)^2=1 y(0)=1,y′(0)=2 需要过程哦

p=y',y''=pdp/dy,代入原方程：
pdp/dy+p^2=1 pdp/(1-p^2)=dy d(p^2)/(p^2-1)=-2dy
积分：ln|p^2-1|=-2y+c1 p^2-1=Ce^(-2y),
p=±√[1+Ce^(-2y)] 由p(0)=y'(0)=2, y(0)=1,根号前取+号,且 得：C=3
即y'=p=√[3e^(-2y)+1] dy/√[3e^(-2y)+1]=dx
e^ydy/√[3+e^(2y)]=dx,
积分得: ln(e^y+√[3+e^(2y)])=x+C,
由y(0)=1,C=ln(e+√[3+e^2])

令p=y'
则y"=pdp/dy
代入原方程：pdp/dy+p^2=1
pdp/(1-p^2)=dy
d(p^2)/(p^2-1)=-2dy
积分：ln|p^2-1|=-2y+c1
p^2-1=Ce^(-2y)
代入p(0)=y'(0)=2, y(0)=1 得：2-1=ce^(-2), 得：c=e^2
即p=±√[e^(-2y+2)+1]
dy/√[e^(-2y+2)+1]=dx
令t=±√[e^(-2y+2)+1],
y=1-0.5ln(t^2-1)
dy=-tdt/(t^2-1)
方程化为：
-dt/(t^2-1)=dx
dt*[1/(t+1)-1/(t-1)]=2dx
积分：ln|t+1|-ln|t-1|=2x+c
(t+1)/(t-1)=ce^(2x)
x=0时，t(0)=√2, 代入得：c=(√2+1)/(√2-1)=3+2√2
故解为：
t=(1+ce^2x)/(ce^2x-1)
即：±√[e^(2-2y)+1]=[1+(3+2√2)e^2x]/[3+2√2)e^2x-1]