已知三个非零实数a，b，c成等差数列，且公差d≠0,求证：1⼀a，1⼀b，1⼀c不可能成等差数列

设1/a，1/b，1/c成等差数列，则有：2/b=1/a+1/c=（a+c)/ac;
又实数a，b，c成等差数列，且公差d≠0，必有2b=(a+c),
综上有：2/b=2b/ac,于是有：b方=ac,即b是a、c的等比中项。
因此，a、b、c既成等比又成等差数列，必有a=b=c.这与已知
公差d≠0相矛盾。
因此，1/a，1/b，1/c不可能成等差数列。

证：
假设1/a 1/b 1/c成等差数列,且公差为e
不妨 a>b>c 且它们的公差为d
故有
a-b=d 式1
b-c=d 式2
另由假设知
1/b-1/a=e 式3
1/c-1/b=e 式4
整理式3，式4有
(a-b)/(ab)=e 式5
(b-c)/(bc)=e 式6
式1，式2代入式5，式6有
d/(ab)=e 式7
d/(bc)=e 式8
由式7，式8有
d/(ab)=e=d/(bc)
还有d不为0，故
ab=bc
b不为0
只有a=c，便可得到公差为0
但这与题目中公差不为0矛盾
因此，假设不成立
命题得证。

∵a=b-d,c=b+d
∴1/a+1/c=1/(b-d)+1/(b+d)=2b/(b²-d²)≠2b/b²=2/b
因此1/a+1/c≠2/b
∴1/a,1/b,1/c不可能成为等差数列