为什么A的伴随矩阵的行列式等于A的行列式的n-1次方

A不可逆

|A*|=0

|A|=0

显然成立；

A不可逆

A*=|A|A^(-1)

取行列式，得

|A*|=||A|A^(-1)|=|A|^n ·|A^(-1)|

=|A|^n ·|A|^(-1)

=|A|^(n-1)

矩阵

是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。

A不可逆

|A*|=0

|A|=0

显然成立；

A不可逆

A*=|A|A^(-1)

取行列式，得

|A*|=||A|A^(-1)|=|A|^zhin ·|A^(-1)|

=|A|^n ·|A|^(-1)

=|A|^(n-1)

相关定理

定理1、设A为一n×n矩阵，则det(AT)=det(A)[2]。

证 对n采用数学归纳法证明。显然，因为1×1矩阵是对称的，该结论对n=1是成立的。假设这个结论对所有k×k矩阵也是成立的，对(k+1)×(k+1)矩阵A，将det(A)按照A的第一行展开，我们有：

det(A)=a11det(M11)-a12det(M12)+-…±a1,k+1det(M1,k+1)。

定理2、设A为一n×n三角形矩阵。则A的行列式等于A的对角元素的乘积。

根据定理1，只需证明结论对下三角形矩阵成立。利用余子式展开和对n的归纳法，容易证明这个结论。

直接打格式不好编辑，我手写了答案，你看图片吧。

再插一句：给矩阵乘一个系数相当于给每个元素都乘以这个系数，而给行列式乘一个系数则是给一行或是一列乘以这个系数。